9. EUKLIDES
Wstęp
„Euklides
z Aleksandrii, starogr. Εὐκλείδης,
Eukleides, ur. ok. 365 r. p.n.e., zm. ok. 300 r. p.n.e. Matematyk
grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w
Aleksandrii. Autor jednych z pierwszych prac teoretycznych z
matematyki. Główne jego dzieło to Elementy (tytuł grecki
Stoicheia geometrias). Są one syntezą ówczesnej wiedzy
matematycznej zarówno w dziedzinie geometrii, jak i w teorii liczb.
Elementy są pierwszą próbą aksjomatycznego ujęcia geometrii i
były podstawowym podręcznikiem geometrii do XIX wieku. Elementy
były bardzo poczytne – przetłumaczono je na olbrzymią liczbę
języków, zaś liczbą wydań ustępują jedynie Biblii. Euklides
usystematyzował ówczesną wiedzę matematyczną w postaci
aksjomatycznego wykładu; zachowały się też dzieła z geometrii, optyki
(m.in. prawo odbicia światła), astronomii, teorii muzyki. Dostępne
jest tłumaczenie pierwszych ośmiu ksiąg z 1817 dokonane przez Józefa
Czecha na język polski napisane językiem staropolskim. Jako pierwszy
Euklides około 300 roku p.n.e. postawił hipotezę, że istnieje
nieskończenie wiele liczb pierwszych p takich, że p+2
jest również liczbą pierwszą”.
Nasze rozważania
zacznijmy od prostej uwagi, z której wyprowadzimy definicję liczb
bliźniaczych. Zauważmy, że na to, żeby liczba pierwsza p była
liczbą pierwszą bliźniaczą wystarczy, żeby liczba p+2 była
również liczbą pierwszą. Wtedy to zarówno jedna, jak i druga jest
liczbą pierwszą bliźniaczą. Tzn. że jeśli dla danej liczby pierwszej
p liczba p+2 nie jest liczbą pierwszą, to niekoniecznie
musi być tak, że liczba p nie jest liczbą pierwszą bliźniaczą.
Może być bowiem tak, że liczba p-2 jest pierwsza. Innymi
słowy: liczba pierwsza p jest liczbą pierwszą bliźniaczą wtedy
i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z liczb p+2 i p-2
również jest liczbą pierwszą.
Definicja
liczby pierwszej
bliźniaczej
|
Liczbą
pierwszą bliźniaczą (lpB) nazywamy taką liczbę pierwszą p,
dla której co najmniej jedna z liczb p-2
i p+2
również jest liczbą pierwszą.
|
Ta niezwykle oczywista uwaga okaże się nam przydatna w dalszej pracy. Postawmy tak dla formalności twierdzenie i zapoznajmy się z planem jego dowodu:
Twierdzenie
o liczbach pierwszych
bliźniaczych
|
Liczb
pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele.
|
Plan jest następujący:
- Wykorzystamy dotychczasową wiedzę i na podstawie zdobytych umiejętności wyprowadzimy funkcję, której zbiorem wartości jest zbiór liczb pierwszych bliźniaczych.
- Na podstawie tej funkcji wyprowadzimy algorytm znajdujący te liczby.
- Wyprowadzimy funkcję podobną do funkcji Eulera.
- Zdefiniujemy funkcję zliczającą liczby bliźniacze nie większe od danej liczby n i na podstawie twierdzenia o funkcji Eulera wyprowadzimy dla niej wzór, analogicznie jak to zrobiliśmy dla funkcji π(n).
Analizując
wyprowadzoną funkcję, możemy wykazać prawdziwość twierdzenia
o lpB.
...
...
