MIĘDZYSŁOWIE
Niniejszy rozdział podsumowujący cały etap 1 jest jednocześnie wstępem do kolejnego. Mamy algorytm Eratostenesa, dzięki któremu możemy znaleźć wszystkie liczby pierwsze, nie większe niż dana liczba naturalna n. Umiemy go zmodyfikować tak, by znaleźć również wszystkie takie liczby lub liczby tylko z przedziału <√ n; n>. Odróżniając zaznaczenia liczb od ich usuwania z ciągu 2, 3, 4, …, nauczyliśmy się znajdywać liczby pierwsze w dowolnym ciągu liczb, który wyznacza ich nieskończenie wiele. Tym samym umiemy opracowywać algorytmy dla takich ciągów. Zdejmując ograniczenie N i opierając się na przebiegu danego algorytmu, tzn. na tym, jakie liczby zaznaczamy czy też znajdujemy, nauczyliśmy się znajdywać je wszystkie, zapisując je w postaci funkcji dwóch zmiennych naturalnych. Wszystkie operacje, które wykonujemy na wartościach danego postępu Dirichleta, tj. na przeciwdziedzinie, takie jak dzielenie tego ciągu na inne podciągi, zaznaczanie wielokrotności liczb pierwszych oraz wyprowadzanie algorytmów i ich modyfikacja, umiemy przeprowadzać równoważnie na argumentach danego PD, tzn. na jego dziedzinie. Przez to nauczyliśmy się opracowywać czy też określać dziedzinę dla każdego PD w taki sposób, by jego zbiorem wartości był zbiór liczb pierwszych tejże postaci. Wszystkie te operacje określiliśmy mianem konstrukcje przestrzeni.
Jedyne, czego nam brakuje, to umiejętności obliczania liczby liczb pierwszych nie większych od danej liczby naturalnej n,
co – jak wiemy – oznaczamy przez π(n).
Jest to funkcja, którą przyjmiemy jako funkcję wiodącą, dla której
będziemy definiować jej modyfikacje. W kolejnym etapie zajmiemy się
właśnie tym problemem, zdobywając tym samym, powiedzmy, komplet
umiejętności pozwalających podejść do rozwiązywania zadań.
Rozumowanie w skrócie jest takie: na podstawie przebiegu Alg.
E1 v4,
który działa na ciągu 2, 3, 4, …, n,
wyprowadzimy wzór dla funkcji π(n).
Następnie, skoro na podstawie tego, jakie
liczby znajdujemy, nauczymy się obliczać ile
ich znajdujemy, to wykorzystując umiejętność obliczania tych liczb,
będziemy mogli powiedzieć, czy jest ich nieskończenie wiele czy też
nie. O ile tylko opracujemy sposób, żeby znaleźć takowe, np. liczby
pierwsze bliźniacze, czy Sophie Germain, to, rozwiążemy tym samym
zagadnienia związane z tymi liczbami lub częściowo się do tych
rozwiązań zbliżymy. A chcąc to zrobić, musimy wprowadzić funkcję
zliczającą nam znajdywane liczby i odpowiednio ją nazwać. Ponieważ
takich problemów jest dosyć dużo, więc łatwiej jest wprowadzić system
nazw, niż przeciążać kolejne symbole. Większość zadań dotyczy funkcji
π(n),
tj. liczby liczb pierwszych nie większych niż n, zatem np. dla liczby
liczb pierwszych nie większych niż n o różnicy dwa, a więc dla
funkcji zliczającej liczby bliźniacze, wprowadzimy oznaczenie Beta
funkcji wiodącej, a znak β
postawimy w indeksie dolnym z lewej strony znaku π,
otrzymując funkcję βπ(n).
Przy czym Beta nie oznacza „wersji beta”, znanej jako
wersja testowa, tylko różnicę między kolejnymi liczbami pierwszymi
równą 2 i stąd oznaczenie przez drugą literę alfabetu greckiego.
Definicję tę można z łatwością rozszerzyć na funkcję iBeta
funkcji π,
co by oznaczało różnicę między poszukiwanymi liczbami równą i*β dla naturalnych i,
otrzymując iβπ(n).
A skoro Beta oznacza 2, więc chodzi o różnicę 4, 6, 8 itd.
